(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点.(1)求此抛物线的表

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2017/10/23 23:23:42
(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是

(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点.(1)求此抛物线的表
(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)当AP+CP的值最小时,求点P的坐标;再以点A为圆心,AP的长为半径作⊙ A求证BP与⊙A相切;
(3)点P在直线l上运动时是否存在等腰△ACP?若存在,请写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由.

(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点.(1)求此抛物线的表
(1)ABC三点坐标代入
(2)B我A关于l的对称点,连接BC与l焦点即为所求P;证明点到直线的距离等于半径,(初中知识不知道能不能解决)
(3)分情况讨论

试题的解法

解法一:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1),∴设,将C(0,3)代入上式解得 ,
∴, 即,
⑵分两种情况:
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
      
令=0, 得 解之得, ,∵点A在点B的右边, ∴B(1,0),
A(3,0),∴P1(1,0).
②当点A为△APD2的...

全部展开

试题的解法

解法一:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1),∴设,将C(0,3)代入上式解得 ,
∴, 即,
⑵分两种情况:
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
      
令=0, 得 解之得, ,∵点A在点B的右边, ∴B(1,0),
A(3,0),∴P1(1,0).
②当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
         
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=,当∠D2AP2=时, ∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.设直线AC的函数关系式为,
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴,
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)
∴()+()=0,
, ∴, (舍),
∴当=2时, ==-1,
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1).
(3)由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形;
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形.
∵P(2,-1), ∴可令F(,1),

解之得: ,
∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)
下面我们再研究第二问的不同解法。
解法二:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
        
②又AB=2,∠OAD2=,Q(2,-1),作QH⊥AB于H,∴QH=1,QH=1/2AB=AH=1,
∴∠QAD=,∴当点P与点Q重合时△PAD是直角三角形,
∴P的坐标为P2(2,-1)
解法三:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
②连接CQ、AQ,可得
,
∵,∴∠CAQ=,(勾股定理逆定理),
即当点P移动到点Q(顶点)时,有∠CAP(Q)=,∴△PAD是直角三角形,∴P的坐标为P2(2,-1)
          
解法四:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
②若∠DAP=,设DP与OA交于点H,∵∠OAD=,∴∠OAP=,
设AH=HP=x,∴OH=3-x,则P(3-x,-x),点P在抛物线上,
∴有,解之得
当时,P(3,0),与点A重合(舍);
当时,P2(2,-1),与Q重合.
        
解法五:①显然,当P与点B重合时
P的坐标为P1(2,-1);
②过点A作AP⊥CA,交抛物线于点P, 作 PD∥轴,交OA于H,设HB=,AH=,
显然,DH=AH=PH=,OH=,
∴P(,),将点P坐标代入,得,解之得,
当时,P2(2,-1)与Q重合;
当时,P(3,0)与A重合(舍)
         
解法六:(利用相似求解)
直线AC:, D(x,-x+3),DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,
延长DP交OA于点E,∵A(3,0),E(x,0)∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=,
①当∠DPA=∠COA=时,∵PD∥轴,
∴△PAD∽△COA,即 ,解之得
∴P(1,0)与B重合,P(3,0)与A重合(舍)
②当∠DAP=∠COA=时, △PAD∽△COA,,
即 ,解之得,,∴P(2,-1)与Q点(顶点)重合,∴P1(1,0),P2(2,-1).

收起

第一问:由于已经知道了图形的对称轴为 L: x = (-2+4)/2 = 1
所以可以直接设出抛物线的对称轴式:y = a ( x -1 )^2 + d
带入 A,C两点坐标,有以下方程组:
a ( 4 - 1 )^2 + d = 0 a (0 - ...

全部展开

第一问:由于已经知道了图形的对称轴为 L: x = (-2+4)/2 = 1
所以可以直接设出抛物线的对称轴式:y = a ( x -1 )^2 + d
带入 A,C两点坐标,有以下方程组:
a ( 4 - 1 )^2 + d = 0 a (0 - 1)^2 + d =0
解方程得:a = -1/2 d = 1/2
抛物线方程为:y = -1/2 ( x - 1 )^2 + 1/2

收起